Tarea 2

Compañeros, ya hay una tarea a entregarse el próximo viernes 28 de septiembre. Consta de los ejercicios:

• 4.4, 4.5, 4.8, 4.9 (estos dos últimos aparecen como 4.9 y 4.10 en la versión en línea)
• 5.22, 5.25
• 6.1, 6.2, 6.3, 6.5 (corrección: 1/4 sí pertenece a Cantor), 6.8, 6.10
• 7.1, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8 (7.1, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9 en la versión en línea)

Podemos trabajar con dudas en la ayudantía del martes. Procuren entregar las tareas en equipo y mantengan buen formato en sus trabajos.

¡Saludos!

Dinámica en la circunferencia

Tomamos esta oportunidad para salir un poco de la dinámica de funciones reales.

A continuación se observa la órbita de una función rotación $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{S}^1$, de la forma $f(x)=x+a\pi$, donde $a$ toma distintos valores entre 0 y 2 (pues la congruencia módulo $2\pi$ reduce cualquier otro valor a este caso).

Los primeros tres son casos esperados y sencillos de analizar: cuando $a$ es racional se observa que con el suficiente número de iteraciones (tantas cuanto le lleva a $\tfrac{p}{q}$ ser un entero par) todo punto regresa a sí mismo. En estos casos se dibujan estrellas bien definidas ($a\in\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{4}{5}, \tfrac{99}{100}\}$) y nos da una buena razón para invocar espíritus infernales a medianoche. Como observación breve, todas estas funciones tienen puntos periódicos (todo $\mathbb{S}^1$) pero no puntos fijos.

Pero, ¿qué ocurre cuando $a$ no es racional? No pueden haber puntos periódicos precisamente por la congruencia módulo $2\pi$, y por lo mismo no hay puntos fijos a quién converger. En la última imagen se ilustra el caso $a=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$. ¿Qué podrían decir que la órbita? ¿Cómo es en $\mathbb{S}^1$?

Saludos.

Tarea 1

Como se comentó en clase, el próximo viernes 31 de agosto se entrega la primera tarea obligatoria del curso en equipos de 4 a 6 integrantes. Los problemas son, del libro del profesor, 1º edición:

• Del capítulo 2, los ejercicios 2.7, 2.8, 2.9, 2.17 y 2.19
• Del capítulo 3, los ejercicios 3.5 y 3.6 (en la versión en línea, éstos corresponden a los ejercicios 3.8 y 3.9)

Procuren trabajarlos lo antes posible, y no duden en consultarnos las preguntas que surjan.

Recuerden que el trabajo de todos, oyentes e inscritos, es bien recibido.

Saludos.

Simulaciones de períodos impares

Les dejamos las simulaciones de la función de período 7 que no tiene período 5. En la primera imagen se puede apreciar la existencia de puntos de período 7 (que es como se define la función). 

En la segunda se grafica $f^5$, y se observa que cruza a la identidad en un único punto (que en efecto coincide con el punto fijo de $f$). Se dibuja la órbita de 1, al igual que en la imagen anterior. Es claro que $x_0=1$ también es periódico de período 7 para $f^5$.

En esta imagen se hace lo mismo para $f^3$. Por la primera parte del Teorema de Sharkovskii, debe ocurrir que no existen puntos fijos para la tercera iteración salvo el punto fijo original de $f$. ¿Por qué?

En la última imagen se aprecia el intento por encontrar un punto periódico de período 9 para $f$ (tanto como lo permitió la precisión numérica del programa). Si se deja correr el programa únicamente hasta nueve iteraciones, la órbita parece bastante cerrada. Pero al no tratarse del punto justo en cuestión, la órbita pasa solo cerca del punto original, mas no regresa a él mismo. Es como si hubiera una clase de sensibilidad a condiciones iniciales para esta función.

¡Saludos!

Simulaciones del método gráfico

A propósito de lo que comentamos sobre simulaciones, les dejamos el método gráfico aplicado visto en clase a algunas funciones de interés: primero están la familia logística para valores de $\lambda= 2, 3.5, 4$. ¿Coincide con lo discutido el viernes de acuerdo al criterio de la derivada? ¿Qué pasa en $\lambda = 4$?

La última imagen corresponde al ejercicio 2.19 del libro del profesor. ¿Frente a qué comportamiento nos encontramos? ¿La predicción coincide con la simulación?

Si tienen dudas sobre el código o la teoría, no duden en preguntar.

¡Saludos!

¡Bienvenidos!

Buenas noches, compañeros.

Damos inicio a un nuevo semestre y a nuestro curso de Sistemas dinámicos discretos.

Pueden consultar la presentación del curso, con la forma de evaluación y la bibliografía sugerida, en la página de la Facultad. Nosotros tenemos los libros básicos del curso, y unos cuántos más, en una carpeta de Drive. Si quieren que se las compartamos, envíenle un correo a Pat (necesitarán una cuenta @ciencias para visualizar la carpeta).

Sin más, les deseamos un buen inicio de clases.

¡Saludos!